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합병정렬(Merge Sort)

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이번 글에서는 합병정렬(Merge Sort)에 대해 살펴보도록 하겠습니다. 이 글은 고려대 김선욱 교수님 강의를 정리했고, 코드는 이곳을 참고했음을 먼저 밝힙니다. 그럼 시작하겠습니다.

합병정렬

합병정렬은 다음과 같은 방식으로 동작합니다. (그림 출처)

우선 데이터를 잘게 쪼갭니다(divide). 위 예시에선 8개로 쪼갰습니다. 둘씩 크기를 비교해 정렬합니다(conquer). 이를 합칩니다(merge). 이를 더 이상 합칠 array가 없을 때까지 반복합니다. 데이터 개수가 홀수개여서 정확히 둘로 쪼갤 수 없을 때는 왼쪽 배열에 요소 하나를 더 포함시킵니다. 여기에서 $p$는 하위 배열의 시작점, $r$은 끝점입니다. $q$는 하위 배열을 가르는 기준점입니다.

파이썬 구현

합병정렬을 파이썬으로 구현한 코드는 다음과 같습니다. 우선 주어진 리스트를 중간 지점인 mid($q$)를 중심으로 왼쪽 리스트(leftList)와 오른쪽 리스트(rightList)로 쪼갭니다. leftListrightList 각각에 다시 이 작업을 재귀적으로 적용합니다. 분리된 리스트를 합치는 merge 함수는 주어진 두 개 리스트를 크기 순으로 정렬하는 역할을 합니다. 추후 다시 설명하겠습니다.

def merge_sort(list):
    if len(list) <= 1:
        return list
    mid = len(list) // 2
    leftList = list[:mid]
    rightList = list[mid:]
    leftList = merge_sort(leftList)
    rightList = merge_sort(rightList)
    return merge(leftList, rightList)

merge_sort 함수가 재귀적으로 수행되는 과정은 다음 그림과 같습니다.

14, 7, 3, 12, 9, 11, 6, 2가 주어졌을 때 merge_sort 함수가 돌면서 리스트를 분리하는 과정은 다음과 같습니다.

Iter 변수명 리스트
0 raw list 14, 7, 3, 12, 9, 11, 6, 2
1 leftList 14, 7, 3, 12
1 rightList 9, 11, 6, 2
2 leftList 14, 7
2 rightList 3, 12
3 leftList 14
3 rightList 7
4 leftList 3
4 rightList 12
5 leftList 9, 11
5 rightList 6, 2
6 leftList 9
6 rightList 11
7 leftList 6
7 rightList 2

분리된 리스트를 합치는 merge 함수는 다음과 같습니다. 위에서 분리한 왼쪽 리스트(left)와 오른쪽 리스트(right)의 첫번째 요소를 비교해 작은 값을 결과 리스트(result)에 저장해 놓고, 해당 값을 해당 리스트에서 지웁니다. 이를 leftright의 요소가 하나도 없을 때까지 반복합니다.

def merge(left, right):
    result = []
    while len(left) > 0 or len(right) > 0:
        if len(left) > 0 and len(right) > 0:
            if left[0] <= right[0]:
                result.append(left[0])
                left = left[1:]
            else:
                result.append(right[0])
                right = right[1:]
        elif len(left) > 0:
            result.append(left[0])
            left = left[1:]
        elif len(right) > 0:
            result.append(right[0])
            right = right[1:]
    return result

우선 merge 함수가 1회 돌 때 어떻게 작동하는지 살펴보겠습니다. 예컨대 [3, 7, 12, 14]가 left, [2, 6, 9, 11]이 right인 상황에서 merge 함수는 다음과 같이 동작합니다. 볼드 표시는 비교 대상입니다.

left right result
3, 7, 12, 14 2, 6, 9, 11  
3, 7, 12, 14 6, 9, 11 2
7, 12, 14 6, 9, 11 2, 3
7, 12, 14 9, 11 2, 3, 6
12, 14 9, 11 2, 3, 6, 7
12, 14 11 2, 3, 6, 7, 9
12, 14   2, 3, 6, 7, 9, 11
12   2, 3, 6, 7, 9, 11, 12
    2, 3, 6, 7, 9, 11, 12, 14

merge 함수가 여러 차례 호출되면서 연산하는 과정은 다음과 같습니다.

병합된 리스트
7, 14
3, 12
3, 7, 12, 14
9, 11
2, 6
2, 6, 9, 11
2, 3, 6, 7, 9, 11, 12, 14

합병정렬의 계산복잡성

데이터 개수가 $n$이라고 할 때 이를 정렬하는 데 $cn$의 시간이 걸린다고 칩시다. $c$는 컴퓨팅 파워 등과 관계 있는 어떤 상수를 나타냅니다. 우선 아래 그림을 봅시다.

예컨대 위에서부터 세 번째 층의 경우 원래 데이터를 4개로 쪼갰기 때문에 각각은 $cn/4$의 시간이 걸리지만, 데이터 덩어리 역시 4개이기 때문에 이에 해당하는 층의 계산시간은 $4×cn/4=cn$이 됩니다.

전체 층의 수가 $\log_2{n}$이 되는 이유는 $n$에 구체적인 수를 넣어보면 명확해집니다. 예컨대 데이터 개수($n$)가 8개라고 칩시다. 그러면 전체 층의 수는 3이 됩니다. 따라서 상수항($c$)을 무시하고 생각해보면 합병정렬의 계산복잡성은 $O(n\log{n})$(각 층의 계산시간 × 전체 층의 수)가 되는 것입니다.

한편 지금까지 설명해드린 합병정렬은 데이터를 한번 쪼갤 때 반씩 나누는 걸로 정했습니다만, 3개나 4개로 쪼개도 합병정렬을 구현할 수 있습니다.

가령 3개로 쪼갤 경우 전체 층의 수는 $\log_3{n}$이 되는데요. 이는 로그의 성질에 의해 $\log_2{3}×\log_2{n}$과 같습니다. 첫째 항은 상수이므로 매 분기마다 3개씩 쪼개도 합병정렬의 계산복잡성은 $O(n\log{n})$로 동일합니다. 3개로 분기하는 경우 절반씩 나누는 것보다 인덱스 등 관리 비용이 커지므로 알고리즘 실행 환경에 따라 유연하게 대처해야 할 것 같습니다

합병정렬의 특성

합병정렬은 수행 과정에서 리스트를 쪼갰다가 다시 합치는데, 같은 숫자의 경우에는 순서가 뒤바뀌지 않으므로 stable sort입니다. 별도 저장 공간이 필요한지 여부(in-place sort 여부)는 자료구조를 뭘 쓰느냐에 따라 달라집니다.

우선 연결리스트(linked list)를 쓰는 경우엔 in-place sort로 구현할 수 있습니다. 다음과 같이 기존 저장공간에서 포인터만 바꾸는 형식으로 합병정렬을 수행할 수 있는 덕분입니다. 예컨대 데이터를 쪼갤 경우 head 포인터를 더 두면 되고, 정렬하려는 경우 next 포인터가 가리키는 주소값을 바꿔주면 됩니다.

반면 배열을 쓰는 경우에는 다음 그림처럼 정렬된 리스트를 저장해 둘 별도 공간(buffer)이 필요해 in-place sort가 아니게 됩니다.

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