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그래프 너비 우선 탐색

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이번 글에서는 그래프(Graph)라는 자료구조를 순회하는 알고리즘 가운데 너비우선탐색(Breath First Search) 기법을 살펴보도록 하겠습니다. 파이썬 코드는 이곳을 참고하였습니다. 이 글은 고려대 김황남 교수님과 역시 같은 대학의 김선욱 교수님 강의와 위키피디아를 정리했음을 먼저 밝힙니다. 그럼 시작하겠습니다.

concepts

그래프 순회(traverse)란 그래프 내 모든 노드를 한번씩 모두 방문하는 걸 말합니다. 너비우선탐색이란 시작 노드를 방문한 후 시작 노드에 인접한 모든 노드를 우선 방문하는 그래프 순회 기법입니다. 더 이상 방문할 인접 노드가 없을 경우 그 다음 가까운 인접노드를 우선 방문합니다. 이 때 쓰는 자료구조가 바로 큐(queue)입니다. 너비우선탐색을 도식화한 그림은 다음과 같습니다.

파이썬 코드

너비우선탐색을 파이썬으로 구현한 코드는 다음과 같습니다. 알고리즘에서 쓰이는 변수는 다음과 같습니다.

  • 그래프 : g (각 노드에는 값과 엣지뿐 아니라 거리 Distance, 색상 Color 정보도 들어 있음)
  • 시작노드 : start
  • 현재 분석 대상 노드 : currentVert
  • currentVert와 이웃한 노드 : nbr
  • 너비우선탐색을 위한 큐 자료구조 : vertQueue
  • 색상 : 아직 방문하지 않았다면 white(defalut), 이미 방문했다면 black, 방문 여부를 검토하고 있다면 gray

알고리즘은 다음과 같이 동작합니다.

from pythonds.graphs import Graph, Vertex
from pythonds.basic import Queue

# g와 s를 입력으로 받습니다
def bfs(g,start):
  # 시작노드의 거리를 0으로 초기화
  start.setDistance(0)
  # 시작노드의 부모는 None으로 초기화
  start.setPred(None)
  # vertQueue 선언
  vertQueue = Queue()
  # 시작노드 enqueue
  vertQueue.enqueue(start)
  # vertQueue 원소가 하나도 없을 때까지 반복
  while (vertQueue.size() > 0):
    # 큐에서 원소를 꺼내 currentVert에 저장
    # 처음 시작할 경우 시작노드가 이것이 됨
    currentVert = vertQueue.dequeue()
    # currentVert에 인접한 노드(nbr)들을 하나씩 분석
    for nbr in currentVert.getConnections():
      # nbr이 아직 방문 안한 노드라면
      if (nbr.getColor() == 'white'):
        # 일단 분석 중이라는 의미로 gray로 색칠
        nbr.setColor('gray')
        # nbr의 거리, 부모 정보 업데이트
        nbr.setDistance(currentVert.getDistance() + 1)
        nbr.setPred(currentVert)
        # nbr를 enqueue
        vertQueue.enqueue(nbr)
    # currentVert의 모든 이웃 분석이 끝나면
    # currentVert를 이미 방문했다는 의미로 black으로 색칠
    currentVert.setColor('black')

순회 예시1

하단 좌측 그림과 같은 그래프 g를 너비우선탐색 방식으로 순회해보겠습니다. 시작노드 start는 1이라고 두겠습니다. 우선 시작노드의 거리를 0으로 초기화한 뒤 시작노드를 큐에 집어 넣습니다. 하단 우측그림과 같습니다.

dequque를 합니다. 1이 나옵니다. 1(currentVert)의 이웃노드들(3, 6)을 차례대로 돌면서 그 색상을 gray로 색칠해 두고, 거리와 부모 정보를 업데이트 한 뒤 큐에 집어 넣습니다. 이렇게 이웃노드들을 모두 돌면 1의 색상을 black으로 색칠해 둡니다. 이렇게 한 결과가 하단 좌측 그림입니다.

dequque를 합니다. 이번엔 3이 나옵니다. 3의 이웃노드들(1, 2, 4, 5)을 차례로 돌면서 그 색상을 gray로 색칠해 두고, 거리와 부모 정보를 업데이트 한 뒤 큐에 집어 넣습니다. 그런데 1은 white가 아니므로 이러한 처리에서 제외합니다. 어쨌든 이렇게 이웃노드들을 모두 돌면 3의 색상을 black으로 색칠해 둡니다. 이렇게 한 결과가 하단 우측 그림입니다.

한편 아래 그림에서 $d=1,2,2,2$라는 얘기는 시작노드와 노드6 사이의 거리가 1, 노드2, 노드4, 노드5와는 각각 2라는 뜻입니다.

dequeue를 합니다. 이번엔 6이 나옵니다. 6의 이웃노드들(1, 5)을 차례로 돌면서 같은 방식으로 처리하려고 했더니 1, 5 모두 white가 아닌 것을 알 수 있습니다. 처리할 것이 없으므로 6의 색상을 black으로 칠해둡니다. 이렇게 한 결과가 하단 우측 그림입니다.

그런데 여기에서 6과 5 사이의 엣지가 사라진 것이 의아할 수 있습니다. 조금 이따가 너비우선트리(Breadth-first-tree)를 설명하려고 이렇게 그림을 그린 것입니다. 그래프 구조가 바뀐 것은 아니니 신경 안쓰고 넘어가셔도 됩니다.

dequeue를 합니다. 이번엔 2가 나옵니다. 2의 이웃노드들(3)을 차례로 돌면서 같은 방식으로 처리하려고 했더니 3이 white가 아닌 것을 알 수 있습니다. 처리할 것이 없으므로 2의 색상을 black으로 칠해둡니다. 이렇게 한 결과가 하단 좌측 그림입니다. 마찬가지로 4와 5에 대해서도 수행하면 너비우선탐색이 종료됩니다.

시작노드 중심으로 너비우선탐색으로 부모-자식 관계를 만들어 나타낸 그래프를 너비우선트리(Breath First Tree)라고 합니다. 다음과 같습니다.

순회예시2

또다른 예시입니다. 다음과 같습니다.

계산복잡성

변수초기화 부분은 $O(1)$이므로 whle 반복문이 전체 계산량을 좌우합니다. 큐에 한번 넣었다가 큐에서 빼는 걸 모든 노드에 대해 수행하므로 $O($|$V$|$)$의 계산복잡성이 소요됩니다. 그런데 currentVert의 모든 인접노드에 대해 색상, 거리, 부모 정보를 업데이트하고, 이는 곧 그래프의 모든 엣지를 스캔한다는 의미이므로 for 반목문 안의 계산복잡성은 $O($|$E$|$)$가 됩니다. 따라서 전체적인 계산복잡성은 $O($|$V$|$+$|$E$|$)$가 됩니다.

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