오차 역전파 (backpropagation)
14 May 2017 | backpropagation
이번 글에서는 오차 역전파법(backpropagation)에 대해 살펴보도록 하겠습니다. 이번 글은 미국 스탠포드대학의 CS231n 강의를 기본으로 하되, 고려대학교 데이터사이언스 연구실의 김해동 석사과정이 쉽게 설명한 자료를 정리했음을 먼저 밝힙니다. 그럼 시작하겠습니다.
계산그래프와 chain rule
계산그래프(computational graph)는 계산과정을 그래프로 나타낸 것입니다. 노드(node, 꼭지점)은 함수(연산), 엣지(edge, 간선)는 값을 뜻합니다. $y=f(x)$를 나타내는 계산그래프는 아래 그림과 같습니다.
계산그래프에서 계산을 왼쪽에서 오른쪽으로 진행하는 단계를 순전파(forward propagation)라고 합니다. 위 그림 기준으로는 녹색 화살표가 됩니다. 입력값 $x$는 함수 $f$를 거쳐 $y$로 순전파되고 있는 점을 확인할 수 있습니다.
반대로 계산을 오른쪽에서 왼쪽으로 진행하는 단계를 역전파(backward propagation)라고 합니다. 빨간색 화살표가 역전파를 가리킵니다.
여기에서 $∂L/∂y$의 의미에 주목할 필요가 있습니다. 지금은 예시이기 때문에 노드를 하나만 그렸지만, 실제 뉴럴네트워크는 이러한 노드가 꽤 많은 큰 계산그래프입니다. 이 네트워크는 최종적으로는 정답과 비교한 뒤 Loss를 구합니다.
우리의 목적은 뉴럴네트워크의 오차를 줄이는 데 있기 때문에, 각 파라메터별로 Loss에 대한 그래디언트를 구한 뒤 그래디언트들이 향한 쪽으로 파라메터들을 업데이트합니다. $∂L/∂y$는 $y$에 대한 Loss의 변화량, 즉 Loss로부터 흘러들어온 그래디언트라고 이해하면 좋을 것 같습니다.
이제는 현재 입력값 $x$에 대한 Loss의 변화량, 즉 $∂L/∂x$를 구할 차례입니다. 이는 미분의 연쇄법칙(chain rule)에 의해 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
\[\frac { \partial L }{ \partial x } =\frac { \partial y }{ \partial x } \frac { \partial L }{ \partial y }\]
이미 설명드렸듯 $∂L/∂y$는 Loss로부터 흘러들어온 그래디언트입니다. $∂y/∂x$는 현재 입력값에 대한 현재 연산결과의 변화량, 즉 로컬 그래디언트(Local Gradient)입니다.
다시 말해 현재 입력값에 대한 Loss의 변화량은 Loss로부터 흘러들어온 그래디언트에 로컬 그래디언트를 곱해서 구한다는 이야기입니다. 이 그래디언트는 다시 앞쪽에 배치돼 있는 노드로 역전파됩니다.
덧셈 노드
덧셈 노드의 수식은 아래와 같습니다.
\[z=f(x,y)=x+y\]
덧셈 노드의 로컬 그래디언트는 아래와 같습니다.
\[\frac { \partial z }{ \partial x } =\frac { \partial (x+y) }{ \partial x } =1\\ \frac { \partial z }{ \partial y } =\frac { \partial (x+y) }{ \partial y } =1\]
덧셈 노드의 계산그래프는 아래와 같습니다. 현재 입력값에 대한 Loss의 변화량은 로컬 그래디언트에 흘러들어온 그래디언트를 각각 곱해주면 됩니다. 덧셈 노드의 역전파는 흘러들어온 그래디언트를 그대로 흘려보내는 걸 확인할 수 있습니다.
곱셈 노드
곱셈 노드의 수식은 아래와 같습니다.
\[z=f(x,y)=xy\]
곱셈 노드의 로컬 그래디언트는 아래와 같습니다.
\[\frac { \partial z }{ \partial x } =\frac { \partial (xy) }{ \partial x } =y\\ \frac { \partial z }{ \partial y } =\frac { \partial (xy) }{ \partial y } =x\]
곱셈 노드의 계산그래프는 아래와 같습니다. 현재 입력값에 대한 Loss의 변화량은 로컬 그래디언트에 흘러들어온 그래디언트를 각각 곱해주면 됩니다. 곱셈 노드의 역전파는 순전파 때 입력 신호들을 서로 바꾼 값을 곱해서 하류로 흘려보내는 걸 확인할 수 있습니다.
ReLU 노드
활성화함수(activation function)로 사용되는 ReLU는 다음 식처럼 정의됩니다.
\[y=x\quad (x>0)\\ y=0\quad (x\le 0)\]
ReLU 노드의 로컬 그래디언트는 아래와 같습니다.
\[\frac { \partial y }{ \partial x } =1\quad (x>0)\\ \frac { \partial y }{ \partial x } =0\quad (x\le 0)\]
계산그래프는 아래와 같습니다.
Sigmoid 노드
시그모이드(sigmoid) 함수는 아래와 같이 정의됩니다.
\[y=\frac { 1 }{ 1+exp(-x) }\]
시그모이드 노드의 로컬 그래디언트는 다음과 같습니다.
\[\frac { \partial y }{ \partial x } =y(1-y)\]
계산그래프는 아래와 같습니다.
하이퍼볼릭탄젠트 노드
하이퍼볼릭탄젠트 노드 $y=tanh(x)$의 로컬 그래디언트는 다음과 같습니다.
\[\frac { \partial y }{ \partial x } =1-{ y }^{ 2 }\]
계산그래프는 아래와 같습니다.
Hadamard product 노드
Hadamard product란 요소별 곱셈을 뜻합니다. 기호로는 $⊙$ 등을 씁니다. 예컨대 아래와 같습니다.
\[\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}\odot \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 \\ 15 \\ 6 \end{bmatrix}\]
두 벡터에 Hadamard product 연산을 적용했을 때, 그 로컬 그래디언트는 아래와 같습니다.
Hadamard product 노드 또한 다른 노드와 마찬가지로 위 로컬 그래디언트에 흘러들어온 그래디언트를 내적(inner product)해서 현시점의 그래디언트를 계산합니다. 그런데 흘러들어온 그래디언트 또한 벡터일 경우 Hadamard product 노드 로컬 그래디언트의 대각성분(위 그림에서 $h_{t-1}^1$,…,$h_{t-1}^n$)과 요소별 곱셈을 하여도 같은 결과가 나옵니다.
벡터, 행렬로의 확장
지금까지 말씀드린 역전파는 기본적으로 스칼라를 대상으로 한 편미분과 역전파였습니다. 하지만 여기에 적용된 원칙들은 벡터, 행렬에도 적용할 수 있습니다. 해당 변수에 대한 그래디언트는 해당 변수의 차원 수와 일치해야 한다는 원칙을 기억하고 있으면 됩니다. 이와 관련 cs231n의 한 단락을 정리 용도로 캡처해 놨습니다.
Softmax-with-Loss 노드
뉴럴네트워크 말단에 보통 Softmax-with-Loss 노드를 둡니다. Softmax-with-Loss란 소프트맥스 함수와 교차 엔트로피(Cross-Entropy) 오차를 조합한 노드를 뜻합니다. 소프트맥스 함수와 교차 엔트로피의 수식은 아래와 같습니다.
$a_k$=노드의 입력값, $L$=노드의 출력값(Loss) $t_k$=정답 레이블(0 혹은 1), $n$=정답 범주 개수
\[{ y }_{ k }=\frac { exp({ a }_{ k }) }{ \sum _{ i=1 }^{ n }{ exp({ a }_{ i }) } } \\ L=-\sum _{ k }^{ }{ { t }_{ k }\log { { y }_{ k } } }\]
Softmax-with-Loss 노드의 계산그래프를 매우 단순하게 그리면 아래와 같습니다.
위 그림을 설명하자면 이렇습니다. Softmax-with-Loss 노드는 $a$를 입력으로 받아서 Loss $L$을 출력합니다. 역전파하는 그래디언트는 $y_k-t_k$가 됩니다. 예컨대 정답이 $t_3$이라면 역전파되는 그래디언트는 각각 $y_1, y_2, y_3-1$이 됩니다.
요컨대 Softmax-with-Loss 노드의 역전파 그래디언트를 구하려면 입력값에 소프트맥스 확률값을 취한 뒤, 정답 레이블에 해당하는 요소만 1을 빼주면 된다는 얘기입니다. 이를 파이썬 코드로 구현하면 아래와 같습니다.
import numpy as np
p = np.exp(a) / np.sum(np.exp(a)) # softmax 확률 계산
da = np.copy(p)
da[target] -= 1 # target=정답 인덱스를 갖고 있는 변수
이번 글에서는 오차 역전파법(backpropagation)에 대해 살펴보도록 하겠습니다. 이번 글은 미국 스탠포드대학의 CS231n 강의를 기본으로 하되, 고려대학교 데이터사이언스 연구실의 김해동 석사과정이 쉽게 설명한 자료를 정리했음을 먼저 밝힙니다. 그럼 시작하겠습니다.
계산그래프와 chain rule
계산그래프(computational graph)는 계산과정을 그래프로 나타낸 것입니다. 노드(node, 꼭지점)은 함수(연산), 엣지(edge, 간선)는 값을 뜻합니다. $y=f(x)$를 나타내는 계산그래프는 아래 그림과 같습니다.
계산그래프에서 계산을 왼쪽에서 오른쪽으로 진행하는 단계를 순전파(forward propagation)라고 합니다. 위 그림 기준으로는 녹색 화살표가 됩니다. 입력값 $x$는 함수 $f$를 거쳐 $y$로 순전파되고 있는 점을 확인할 수 있습니다.
반대로 계산을 오른쪽에서 왼쪽으로 진행하는 단계를 역전파(backward propagation)라고 합니다. 빨간색 화살표가 역전파를 가리킵니다.
여기에서 $∂L/∂y$의 의미에 주목할 필요가 있습니다. 지금은 예시이기 때문에 노드를 하나만 그렸지만, 실제 뉴럴네트워크는 이러한 노드가 꽤 많은 큰 계산그래프입니다. 이 네트워크는 최종적으로는 정답과 비교한 뒤 Loss를 구합니다.
우리의 목적은 뉴럴네트워크의 오차를 줄이는 데 있기 때문에, 각 파라메터별로 Loss에 대한 그래디언트를 구한 뒤 그래디언트들이 향한 쪽으로 파라메터들을 업데이트합니다. $∂L/∂y$는 $y$에 대한 Loss의 변화량, 즉 Loss로부터 흘러들어온 그래디언트라고 이해하면 좋을 것 같습니다.
이제는 현재 입력값 $x$에 대한 Loss의 변화량, 즉 $∂L/∂x$를 구할 차례입니다. 이는 미분의 연쇄법칙(chain rule)에 의해 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
\[\frac { \partial L }{ \partial x } =\frac { \partial y }{ \partial x } \frac { \partial L }{ \partial y }\]이미 설명드렸듯 $∂L/∂y$는 Loss로부터 흘러들어온 그래디언트입니다. $∂y/∂x$는 현재 입력값에 대한 현재 연산결과의 변화량, 즉 로컬 그래디언트(Local Gradient)입니다.
다시 말해 현재 입력값에 대한 Loss의 변화량은 Loss로부터 흘러들어온 그래디언트에 로컬 그래디언트를 곱해서 구한다는 이야기입니다. 이 그래디언트는 다시 앞쪽에 배치돼 있는 노드로 역전파됩니다.
덧셈 노드
덧셈 노드의 수식은 아래와 같습니다.
\[z=f(x,y)=x+y\]덧셈 노드의 로컬 그래디언트는 아래와 같습니다.
\[\frac { \partial z }{ \partial x } =\frac { \partial (x+y) }{ \partial x } =1\\ \frac { \partial z }{ \partial y } =\frac { \partial (x+y) }{ \partial y } =1\]덧셈 노드의 계산그래프는 아래와 같습니다. 현재 입력값에 대한 Loss의 변화량은 로컬 그래디언트에 흘러들어온 그래디언트를 각각 곱해주면 됩니다. 덧셈 노드의 역전파는 흘러들어온 그래디언트를 그대로 흘려보내는 걸 확인할 수 있습니다.
곱셈 노드
곱셈 노드의 수식은 아래와 같습니다.
\[z=f(x,y)=xy\]곱셈 노드의 로컬 그래디언트는 아래와 같습니다.
\[\frac { \partial z }{ \partial x } =\frac { \partial (xy) }{ \partial x } =y\\ \frac { \partial z }{ \partial y } =\frac { \partial (xy) }{ \partial y } =x\]곱셈 노드의 계산그래프는 아래와 같습니다. 현재 입력값에 대한 Loss의 변화량은 로컬 그래디언트에 흘러들어온 그래디언트를 각각 곱해주면 됩니다. 곱셈 노드의 역전파는 순전파 때 입력 신호들을 서로 바꾼 값을 곱해서 하류로 흘려보내는 걸 확인할 수 있습니다.
ReLU 노드
활성화함수(activation function)로 사용되는 ReLU는 다음 식처럼 정의됩니다.
\[y=x\quad (x>0)\\ y=0\quad (x\le 0)\]ReLU 노드의 로컬 그래디언트는 아래와 같습니다.
\[\frac { \partial y }{ \partial x } =1\quad (x>0)\\ \frac { \partial y }{ \partial x } =0\quad (x\le 0)\]계산그래프는 아래와 같습니다.
Sigmoid 노드
시그모이드(sigmoid) 함수는 아래와 같이 정의됩니다.
\[y=\frac { 1 }{ 1+exp(-x) }\]시그모이드 노드의 로컬 그래디언트는 다음과 같습니다.
\[\frac { \partial y }{ \partial x } =y(1-y)\]계산그래프는 아래와 같습니다.
하이퍼볼릭탄젠트 노드
하이퍼볼릭탄젠트 노드 $y=tanh(x)$의 로컬 그래디언트는 다음과 같습니다.
\[\frac { \partial y }{ \partial x } =1-{ y }^{ 2 }\]계산그래프는 아래와 같습니다.
Hadamard product 노드
Hadamard product란 요소별 곱셈을 뜻합니다. 기호로는 $⊙$ 등을 씁니다. 예컨대 아래와 같습니다.
\[\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}\odot \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 \\ 15 \\ 6 \end{bmatrix}\]두 벡터에 Hadamard product 연산을 적용했을 때, 그 로컬 그래디언트는 아래와 같습니다.
Hadamard product 노드 또한 다른 노드와 마찬가지로 위 로컬 그래디언트에 흘러들어온 그래디언트를 내적(inner product)해서 현시점의 그래디언트를 계산합니다. 그런데 흘러들어온 그래디언트 또한 벡터일 경우 Hadamard product 노드 로컬 그래디언트의 대각성분(위 그림에서 $h_{t-1}^1$,…,$h_{t-1}^n$)과 요소별 곱셈을 하여도 같은 결과가 나옵니다.
벡터, 행렬로의 확장
지금까지 말씀드린 역전파는 기본적으로 스칼라를 대상으로 한 편미분과 역전파였습니다. 하지만 여기에 적용된 원칙들은 벡터, 행렬에도 적용할 수 있습니다. 해당 변수에 대한 그래디언트는 해당 변수의 차원 수와 일치해야 한다는 원칙을 기억하고 있으면 됩니다. 이와 관련 cs231n의 한 단락을 정리 용도로 캡처해 놨습니다.
Softmax-with-Loss 노드
뉴럴네트워크 말단에 보통 Softmax-with-Loss 노드를 둡니다. Softmax-with-Loss란 소프트맥스 함수와 교차 엔트로피(Cross-Entropy) 오차를 조합한 노드를 뜻합니다. 소프트맥스 함수와 교차 엔트로피의 수식은 아래와 같습니다.
$a_k$=노드의 입력값, $L$=노드의 출력값(Loss) $t_k$=정답 레이블(0 혹은 1), $n$=정답 범주 개수
\[{ y }_{ k }=\frac { exp({ a }_{ k }) }{ \sum _{ i=1 }^{ n }{ exp({ a }_{ i }) } } \\ L=-\sum _{ k }^{ }{ { t }_{ k }\log { { y }_{ k } } }\]Softmax-with-Loss 노드의 계산그래프를 매우 단순하게 그리면 아래와 같습니다.
위 그림을 설명하자면 이렇습니다. Softmax-with-Loss 노드는 $a$를 입력으로 받아서 Loss $L$을 출력합니다. 역전파하는 그래디언트는 $y_k-t_k$가 됩니다. 예컨대 정답이 $t_3$이라면 역전파되는 그래디언트는 각각 $y_1, y_2, y_3-1$이 됩니다.
요컨대 Softmax-with-Loss 노드의 역전파 그래디언트를 구하려면 입력값에 소프트맥스 확률값을 취한 뒤, 정답 레이블에 해당하는 요소만 1을 빼주면 된다는 얘기입니다. 이를 파이썬 코드로 구현하면 아래와 같습니다.
import numpy as np
p = np.exp(a) / np.sum(np.exp(a)) # softmax 확률 계산
da = np.copy(p)
da[target] -= 1 # target=정답 인덱스를 갖고 있는 변수
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