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Linearity, Linear combination

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이번 포스팅에선 선형대수학(Linear Algebra)선형성(linearity), 선형결합(linear combination) 개념을 알아보도록 하겠습니다. 이번 글은 고려대 박성빈 교수님한양대 이상화 교수님 강의를 참고했음을 먼저 밝힙니다. 그럼 시작하겠습니다.

선형성

선형성이란 직선처럼 똑바른 도형, 또는 그와 비슷한 성질을 갖는 대상이라는 뜻으로, 함수의 경우 그 모양이 ‘직선’이라는 의미로 사용됩니다. 수학에서 선형성의 정의는 다음과 같습니다. 임의의 수 x, y와 함수 f에 대해 아래 두 조건을 동시에 만족해야 합니다.

superposition : f(x+y) = f(x) + f(y)

homogeneity : 임의의 수 a에 대해 f(ax) = af(x)

위 조건을 만족하는 예로는 1차 다항함수(y=mx), 미분/적분연산 등이 있습니다. 또한 행렬과 벡터 곱셈(multiplication)도 선형성을 가집니다. 다만 여기서 주의해야할 것은 원점을 지나지 않는 직선의 방정식(예를 들면 y=2x+1)은 위 선형성 조건에 위배됨을 확인할 수 있습니다. 원점을 통과하지 않는 직선에 굳이 선형성을 정의하려면 x의 변화량과 y의 변화량에 선형성이 있다 정도로 언급해야 할 것입니다. 선형대수학은 기본적으로 선형성을 지닌 방정식이나 함수에 대해 다룹니다.

1차 연립방정식 풀이의 두 가지 접근

보통 고등학교 수학과정에선 두 개의 1차 연립방정식의 해를 찾을 때 2차원 사분면에 두 개 직선을 그려, 두 직선의 교점을 찾는 것으로 설명을 하곤 합니다. 다시 말해 아래 그림과 같습니다.

위 직선의 방정식은 아래와 같이 고쳐쓸 수 있습니다. 자세히 보시면 두 방정식에서 x, y의 계수들을 각각 떼어서 벡터 (3,1), (-1,1)로, 상수항들을 묶어서 벡터 (-2,2)로 표현을 한 걸 알 수 있습니다. 미지수 x와 y는 각각 스칼라 값이므로 스칼라-벡터 곱의 정의에 의해 위 직선의 방정식과 아래 벡터 형태가 정확히 동일하다는 것 또한 확인 가능합니다.

위 식은 정확히 선형결합(linear combination) 정의에 맞는 식입니다. 선형결합이란 벡터들을 스칼라 곱과 벡터의 덧셈을 조합하여 새로운 벡터를 얻는 연산입니다. 스칼라-벡터 곱을 기하학적으로 생각하면 벡터의 길이를 키우거나 줄이는 걸로, 두 벡터의 덧셈은 두 벡터가 이루는 평행사변형의 대각선과 일치합니다. 위의 식의 세 벡터(x계수, y계수, 상수벡터)를 아래와 같이 2차원 평면 위에 그리면 아래 그림과 같습니다.

여기서 우리가 x, y 값을 구한다, 즉 1차 연립방정식의 해를 구한다는 건 빨간색 선과 파란색 선을 적절히 조합해 오렌지색 선으로 일치시키는 작업이라고 봐도 무방합니다. 다시 말해 1차 연립방정식의 해는 ‘직선의 방정식의 교점’으로도, ‘미지수 계수벡터의 선형결합으로 상수벡터를 표현’하는 방식으로도 모두 구할 수 있다는 이야기입니다. 이를 조금 더 확장해서 생각해보면, 위 연립방정식의 해가 존재한다는 것은 파란색 벡터가 오렌지색 벡터와 빨간색 벡터의 선형결합으로 표시될 수 있다는 걸 의미합니다. 반대로 해가 존재하지 않는다면 선형결합으로 나타낼 수 없다는 걸 뜻합니다. 이는 벡터공간(Vector space), 생성(span) 등 개념과 연결되는데 이 챕터의 범위를 넘어서므로 추후에 다시 논의하도록 하겠습니다.

1차 연립방정식 해 존재 여부

다음의 경우 1차 연립방정식의 해는 각각 존재하지 않거나 무수히 많습니다.

  • 두 직선이 평행(parallel)인 경우
  • 두 직선이 포개진(overlap) 경우

이를 계수벡터의 선형결합 관점에서 살펴보도록 하겠습니다. 이 역시 마찬가지입니다.

  • 두 계수벡터가 평행(parallel)인 경우
  • 두 계수벡터가 포개진(overlap) 경우

기하학적으로도 살펴볼까요? 미지수가 x, y, z 세개인 연립방정식을 푼다고 칩시다. 그러면 이 연립방정식의 해는 각각의 미지수에 해당하는 계수들의 벡터를 적절히 선형결합해 상수벡터와 일치시키면 구할 수 있습니다. 아래 그림에서는 빨간색 실선이 상수벡터인데요, x 계수벡터에 해당하는 오렌지색, y 계수벡터에 해당하는 연두색, z 계수벡터에 해당하는 파란색 선을 적절히 결합해서 빨간색 실선을 만들어내는 작업이 이 연립방정식의 해를 찾는 과정입니다.

위 그림처럼 네 가지 모든 벡터가 우연히 같은 평면 위에 있다고 칩시다. 그럼 사실 빨간색 상수벡터는 나머지 3개 중 2개 계수벡터만으로도 충분히 선형결합으로 만들어낼 수 있습니다. 3개 가운데 1개 벡터는 잉여라는 것이죠. 바꿔 말하면 잉여에 해당하는 열벡터의 미지수는 그 어떤 값을 가지더라도 빨간색 상수벡터를 만들어낼 수 있다는 뜻입니다. 이를 다른 표현으로 하면 해가 무수히 많다로 정리할 수 있겠네요.

그럼 다른 경우를 생각해보죠. 상수벡터가 실선이 아니라 빨간색 점선 벡터라고 생각해보세요. 이 경우에는 오렌지색, 연두색, 파란색 선을 어떻게 조합하더라도 절대 상수벡터를 만들어낼 수 없습니다. 이 경우엔 연립방정식의 해가 존재하지 않습니다.

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