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행렬식(determinant)

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이번 글에서는 행렬식에 대해 살펴보겠습니다. 이번 글은 고려대 박성빈 교수님 강의와 David C. Lay의 Linear Algebra (4th edition)을 정리했음을 먼저 밝힙니다. 그럼 시작하겠습니다.

행렬식의 정의

행렬식(determinant)은 행렬을 대표하는 값으로 n x n (n은 2 이상)의 정방행렬 $A$에 대해 다음과 같이 정의됩니다. $detA_{11}$이란 $A$에서 1행과 1열을 제외한 행렬의 행렬식을 의미합니다. 2 x 2 행렬의 요소값이 $a,b,c,d$라고 할 때 행렬식은 $ad-bc$입니다.

$A$가 다음 행렬이라고 칩시다.

$detA$는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

지금까지는 행렬식을 구할 때 $A$의 첫번째 행을 쓰는 걸 기준으로 설명해드렸는데 사실 어떤 행이나 열을 택해서 구해도 행렬식은 같은 값이 나옵니다. 행렬식 계산을 일반화해서 나타내면 아래와 같습니다. 이 때 $C_{ij}$를 (i,j)-cofactor라고 합니다.

행렬식의 성질

행렬식의 성질은 다음과 같습니다.

(1) 행렬 $A$의 임의의 행에 스칼라 곱을 한 뒤 다른 행에 더해 $B$를 만들었을 때 두 행렬의 행렬식은 같다.

(2) 행렬 $A$의 임의의 행을 다른 행과 바꾸어 $B$를 만들었을 때 $detB=-detA$

(3) 행렬 $A$의 임의의 행에 스칼라 곱을 해 $B$를 만들었을 때 $detB=kdetA$

(4) 삼각행렬(triangular matrix)의 행렬식은 주 대각원소들의 곱과 같다.

(5) 행렬 $A$가 가역(invertible)임과 $detA≠0$임은 동치입니다.

(6) $detA^T=detA$

(7) $detAB=(detA)(detB)$

선형시스템의 해와 행렬식

크래머의 법칙(Cramer’s Rule)은 다음과 같습니다. $n*n$ 크기의 행렬 $A$가 가역이고, 임의의 $n$차원 벡터 $b$에 대해 $Ax=b$가 유일한 해를 갖는다면 $x$의 $i$번째 요소값인 $x_i$는 아래 식과 같습니다.

$e$는 $n*n$ 크기의 단위행렬(identity matrix)의 열벡터를 뜻하는데요. $A_i(b)$는 단위행렬의 $i$번째 열벡터 $e_i$를 $b$로 대체한 행렬에 $A$를 곱한 행렬을 가리킵니다. 다음과 같습니다.

크래머의 법칙을 활용하면 행렬식만으로도 선형 시스템의 해를 구할 수 있게 됩니다.

역행렬과 행렬식

기본행연산 말고도 역행렬을 구할 수 있는 방법이 있습니다. 행렬식을 이용하는 것입니다. 다음과 같습니다.

행렬식의 기하학적 성질 : 부피

행렬식을 기하학적으로 살펴보겠습니다. $detA=detA^T$가 성립하고, 두 개 열벡터의 위치를 바꾸거나 임의의 열에 스칼라곱을 한 뒤 다른 열에 더해도 행렬식의 크기가 바뀌지 않으므로 임의의 $2*2$ 행렬 $A$를 아래와 같은 형태로 변형해 행렬식을 구해도 됩니다.

이를 그림으로 나타내면 $2*2$ 행렬 $A$의 행렬식은 일종의 넓이로 이해할 수 있습니다.

이를 일반화해서 생각해 보겠습니다. $2*2$ 행렬 $A$의 영벡터가 아닌 열벡터를 각각 $a_1, a_2$, 그리고 임의의 스칼라를 $c$라고 둡시다. 아래 그림을 보겠습니다.

위 그림을 보시면 $a_1$과 $a_2+ca_1$이 이루는 직사각형의 넓이와 $a_1$과 $a_2$가 이루는 평행사변형의 넓이가 같습니다. 행렬식의 성질에 의해 임의의 열에 스칼라곱을 한 뒤 다른 열에 더해도 행렬식의 크기가 바뀌지 않으므로 자명한 사실입니다.

마찬가지로 $3*3$ 크기 행렬의 행렬식은 일종의 부피로 이해할 수 있습니다. 아래 그림과 같습니다.

이를 또 일반화해서 나타내면 아래와 같습니다.

선형변환과 행렬식

선형변환 $T: R^2 → R^2$에 대응하는 $2*2$ 크기의 표준행렬(standard matrix) $A$가 있다고 칩시다. $S$가 $R^2$에 존재하는 도형일 때 면적과 관계된 식과 그림은 다음과 같습니다.

마찬가지로 3차원에서는 아래와 같이 정의됩니다.

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