Linear independence, Linear Transformation
24 Mar 2017 | linear
이번 포스팅에서는 선형독립(linear independence)과 선형변환(linear transformation)에 대해 살펴보도록 하겠습니다. 이번 글 역시 고려대 박성빈 교수님 강의를 참고했음을 먼저 밝힙니다. 그럼 시작하겠습니다.
선형독립과 선형종속
아래 조건을 만족하는 유한한 $n$개의 벡터는 선형종속(線型從屬, linear dependence)이라고 정의됩니다.
\[S=\left\{ { v }_{ 1 },{ v }_{ 2 },...,{ v }_{ n } \right\} 에\quad 대해\\{ c }_{ 1 }{ v }_{ 1 }+{ c }_{ 2 }{ v }_{ 2 }+...+{ c }_{ n }{v}_{n}=0을\quad만족하는\\0이\quad 아닌\quad { c }_{ 1 },{ c }_{ 2 },...,{ c }_{ n }이\quad존재한다\]
반대로 c가 모두 0일 때만 위 조건을 만족하는 경우에는 선형독립(線型獨立, linear independence)이라고 합니다. 그 정의에 의해 동차선형방정식(homogeneous linear equation) $Ax=0$가 자명해($x=0$)를 유일한 해로 가질 때 계수행렬(coefficient matrix) $A$의 열벡터(column vector)들은 서로 선형독립입니다.
무슨 말인지 알쏭달쏭하시죠? 예를 들어보겠습니다. 다음과 같은 두 개의 1차 연립방정식이 있습니다.
\[3{ x }_{ 1 }+6{ x }_{ 2 }=0\\ 2{ x }_{ 1 }+2{ x }_{ 2 }=0\]
위 연립방정식의 계수행렬 $A$는 아래와 같습니다. $A$의 열벡터와 $x$의 선형결합으로 위 연립방정식을 다시 표현한 것 또한 아래와 같습니다.
\[A=\begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 2 \end{bmatrix},\quad x=\begin{bmatrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \end{bmatrix}\\ { x }_{ 1 }\begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}+{ x }_{ 2 }\begin{bmatrix} 6 \\ 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\]
위 식을 살펴보면 $A$의 열벡터들을 선형결합해 영벡터를 만들기 위해선 $x_1$과 $x_2$가 동시에 0인 경우 말고는 해가 존재하지 않습니다. 이 경우 벡터 (3,2)와 (6,2)는 선형독립이라고 말할 수 있습니다. 그럼 아래의 경우는 어떨까요?
\[{ x }_{ 1 }\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}+{ x }_{ 2 }\begin{bmatrix} 6 \\ 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\]
위와 같은 경우엔 식을 만족하는 $x$가 무수히 많습니다. (3,1)과 (6,2)는 동일한 직선 위에 있기 때문입니다. 이를 그림으로 보면 아래와 같습니다.
그럼 3차원에선 어떨까요? 아래와 같이 벡터 $u$, $v$가 주어졌을 때 $u$, $v$가 만드는 공간과 $w$가 선형독립일 필요충분조건은 무엇일까요? 답은 이렇습니다. $x_1$과 $x_2$가 어떤 값을 가지든 상관없지만 $x_3$는 반드시 0이어야 합니다. 이해를 돕기 위해 그림으로도 표현해보겠습니다.
\[u=\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\quad v=\begin{bmatrix} 1 \\ 6 \\ 0 \end{bmatrix},\quad w=\begin{bmatrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \end{bmatrix}\]
벡터 $u$와 $v$는 평면을 생성(span)합니다. 하지만 $u$와 $v$의 어떤 조합으로도 $x_3$이 0이 아닌 벡터(상단 좌측 그림의 파란색 벡터)를 만들어 낼 수는 없습니다. $x_3$에 대응하는 세번째 요소가 $u$, $v$ 모두 0이기 때문입니다.
$x_3$이 0이 아니라면 $w$는 $u$, $v$가 만들어내는 평면에 속하지 않게 됩니다. 다시 말해 $w$와 Span{$u$, $v$}가 선형독립이라는 얘기입니다.
반대로 $x_3$가 0이면 $w$는 $u$, $v$가 만드는 평면에 속하게 됩니다. 바꿔 말하면 $w$가 $u$, $v$의 선형결합으로 표시할 수 있다는 얘기입니다.
벡터 요소의 수/벡터 개수와 선형독립과의 관계를 살펴보겠습니다. 벡터가 다음과 같이 주어졌다고 칩시다.
\[a=\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix},\quad b=\begin{bmatrix} 4 \\ -1 \end{bmatrix},\quad c=\begin{bmatrix} -2 \\ 2 \end{bmatrix}\]
벡터 $b$와 $c$를 더하면 $a$와 같습니다. 즉 $a$, $b$, $c$는 서로 선형종속입니다.
한편 벡터의 요소 수(위의 경우 2)보다 벡터 숫자(위 예시에서 3)가 많으면 해당 벡터들은 선형종속 관계를 갖습니다. 이는 차원(dimension)과 기저(basis)와 연관되는 개념인데요, 이번 포스팅 주제를 넘어서므로 추후에 논의하도록 하겠습니다.
마지막으로 영벡터를 포함한 벡터 집합은 서로 선형종속 관계입니다. $v_1$을 0으로 놓으면(사실 $v_2$, $v_3$… 아무렇게나 지정해도 관계 없습니다) 아래와 같은 식이 성립하기 때문입니다.
\[1{ v }_{ 1 }+0{ v }_{ 2 }+...+0{ v }_{ n }=0\]
선형변환의 정의
아래 조건을 만족하는 매핑 함수 $T$를 Linear하다고 정의합니다. 즉 $T$는 선형변환(線型變換, linear transformation)입니다.
임의의 두 벡터 $v$, $w$에 대해 $T(v+w)=T(v)+T(w)$
임의의 스칼라 $a$와 벡터 $v$에 대해 $T(av)=aT(v)$
임의의 스칼라 $c, d$와 벡터 $u,v$에 대해 $T(cu+dv)=cT(u)+dT(v)$
지금까지 논의한 선형시스템(1차 연립방정식) $Ax=b$을 선형변환으로 이해할 수도 있습니다. 행렬 $A$가 m x n 크기이고, $x$가 $n$차원, $b$가 $m$차원 벡터라고 할 때 행렬 $A$는 $n$차원 벡터 $x$를 $m$차원 벡터 $b$로 변환하는 선형변환 함수라는 것이지요. 이를 그림으로 도시하면 아래와 같습니다.
선형변환 함수 $T$를 아래와 같이 정의했다고 합시다. 그러면 아래 그림과 수식처럼 2차원 벡터 (2, -1)은 3차원 벡터 (5, 1, -9)로 변환됩니다.
\[T(x)=\begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 3 & 5 \\ -1 & 7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \end{bmatrix}\]
선형변환 예시
그럼 이제부터 몇 가지 전형적인 선형변환과 그 행렬 형태를 살펴보도록 하겠습니다. 직관적으로 이해가능한데다 저도 보관 용도로 정리해두었으니 참고하시기 바랍니다.
reflections
contractions and expansions
shears
projections
이번 포스팅에서는 선형독립(linear independence)과 선형변환(linear transformation)에 대해 살펴보도록 하겠습니다. 이번 글 역시 고려대 박성빈 교수님 강의를 참고했음을 먼저 밝힙니다. 그럼 시작하겠습니다.
선형독립과 선형종속
아래 조건을 만족하는 유한한 $n$개의 벡터는 선형종속(線型從屬, linear dependence)이라고 정의됩니다.
\[S=\left\{ { v }_{ 1 },{ v }_{ 2 },...,{ v }_{ n } \right\} 에\quad 대해\\{ c }_{ 1 }{ v }_{ 1 }+{ c }_{ 2 }{ v }_{ 2 }+...+{ c }_{ n }{v}_{n}=0을\quad만족하는\\0이\quad 아닌\quad { c }_{ 1 },{ c }_{ 2 },...,{ c }_{ n }이\quad존재한다\]반대로 c가 모두 0일 때만 위 조건을 만족하는 경우에는 선형독립(線型獨立, linear independence)이라고 합니다. 그 정의에 의해 동차선형방정식(homogeneous linear equation) $Ax=0$가 자명해($x=0$)를 유일한 해로 가질 때 계수행렬(coefficient matrix) $A$의 열벡터(column vector)들은 서로 선형독립입니다.
무슨 말인지 알쏭달쏭하시죠? 예를 들어보겠습니다. 다음과 같은 두 개의 1차 연립방정식이 있습니다.
\[3{ x }_{ 1 }+6{ x }_{ 2 }=0\\ 2{ x }_{ 1 }+2{ x }_{ 2 }=0\]위 연립방정식의 계수행렬 $A$는 아래와 같습니다. $A$의 열벡터와 $x$의 선형결합으로 위 연립방정식을 다시 표현한 것 또한 아래와 같습니다.
\[A=\begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 2 \end{bmatrix},\quad x=\begin{bmatrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \end{bmatrix}\\ { x }_{ 1 }\begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}+{ x }_{ 2 }\begin{bmatrix} 6 \\ 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\]위 식을 살펴보면 $A$의 열벡터들을 선형결합해 영벡터를 만들기 위해선 $x_1$과 $x_2$가 동시에 0인 경우 말고는 해가 존재하지 않습니다. 이 경우 벡터 (3,2)와 (6,2)는 선형독립이라고 말할 수 있습니다. 그럼 아래의 경우는 어떨까요?
\[{ x }_{ 1 }\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}+{ x }_{ 2 }\begin{bmatrix} 6 \\ 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\]위와 같은 경우엔 식을 만족하는 $x$가 무수히 많습니다. (3,1)과 (6,2)는 동일한 직선 위에 있기 때문입니다. 이를 그림으로 보면 아래와 같습니다.
그럼 3차원에선 어떨까요? 아래와 같이 벡터 $u$, $v$가 주어졌을 때 $u$, $v$가 만드는 공간과 $w$가 선형독립일 필요충분조건은 무엇일까요? 답은 이렇습니다. $x_1$과 $x_2$가 어떤 값을 가지든 상관없지만 $x_3$는 반드시 0이어야 합니다. 이해를 돕기 위해 그림으로도 표현해보겠습니다.
\[u=\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\quad v=\begin{bmatrix} 1 \\ 6 \\ 0 \end{bmatrix},\quad w=\begin{bmatrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \end{bmatrix}\]
벡터 $u$와 $v$는 평면을 생성(span)합니다. 하지만 $u$와 $v$의 어떤 조합으로도 $x_3$이 0이 아닌 벡터(상단 좌측 그림의 파란색 벡터)를 만들어 낼 수는 없습니다. $x_3$에 대응하는 세번째 요소가 $u$, $v$ 모두 0이기 때문입니다.
$x_3$이 0이 아니라면 $w$는 $u$, $v$가 만들어내는 평면에 속하지 않게 됩니다. 다시 말해 $w$와 Span{$u$, $v$}가 선형독립이라는 얘기입니다.
반대로 $x_3$가 0이면 $w$는 $u$, $v$가 만드는 평면에 속하게 됩니다. 바꿔 말하면 $w$가 $u$, $v$의 선형결합으로 표시할 수 있다는 얘기입니다.
벡터 요소의 수/벡터 개수와 선형독립과의 관계를 살펴보겠습니다. 벡터가 다음과 같이 주어졌다고 칩시다.
\[a=\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix},\quad b=\begin{bmatrix} 4 \\ -1 \end{bmatrix},\quad c=\begin{bmatrix} -2 \\ 2 \end{bmatrix}\]벡터 $b$와 $c$를 더하면 $a$와 같습니다. 즉 $a$, $b$, $c$는 서로 선형종속입니다.
한편 벡터의 요소 수(위의 경우 2)보다 벡터 숫자(위 예시에서 3)가 많으면 해당 벡터들은 선형종속 관계를 갖습니다. 이는 차원(dimension)과 기저(basis)와 연관되는 개념인데요, 이번 포스팅 주제를 넘어서므로 추후에 논의하도록 하겠습니다.
마지막으로 영벡터를 포함한 벡터 집합은 서로 선형종속 관계입니다. $v_1$을 0으로 놓으면(사실 $v_2$, $v_3$… 아무렇게나 지정해도 관계 없습니다) 아래와 같은 식이 성립하기 때문입니다.
\[1{ v }_{ 1 }+0{ v }_{ 2 }+...+0{ v }_{ n }=0\]선형변환의 정의
아래 조건을 만족하는 매핑 함수 $T$를 Linear하다고 정의합니다. 즉 $T$는 선형변환(線型變換, linear transformation)입니다.
임의의 두 벡터 $v$, $w$에 대해 $T(v+w)=T(v)+T(w)$
임의의 스칼라 $a$와 벡터 $v$에 대해 $T(av)=aT(v)$
임의의 스칼라 $c, d$와 벡터 $u,v$에 대해 $T(cu+dv)=cT(u)+dT(v)$
지금까지 논의한 선형시스템(1차 연립방정식) $Ax=b$을 선형변환으로 이해할 수도 있습니다. 행렬 $A$가 m x n 크기이고, $x$가 $n$차원, $b$가 $m$차원 벡터라고 할 때 행렬 $A$는 $n$차원 벡터 $x$를 $m$차원 벡터 $b$로 변환하는 선형변환 함수라는 것이지요. 이를 그림으로 도시하면 아래와 같습니다.
선형변환 함수 $T$를 아래와 같이 정의했다고 합시다. 그러면 아래 그림과 수식처럼 2차원 벡터 (2, -1)은 3차원 벡터 (5, 1, -9)로 변환됩니다.
\[T(x)=\begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 3 & 5 \\ -1 & 7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \end{bmatrix}\]
선형변환 예시
그럼 이제부터 몇 가지 전형적인 선형변환과 그 행렬 형태를 살펴보도록 하겠습니다. 직관적으로 이해가능한데다 저도 보관 용도로 정리해두었으니 참고하시기 바랍니다.
reflections
contractions and expansions
shears
projections
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